單層神經網絡，也被稱為感知器（Perceptron），是最簡單的神經網絡模型。它由輸入層和輸出層組成，沒有隱藏層。我們通過一個簡單的例子來說明單層神經網絡的工作原理。

【資料圖】

假設我們要使用一個單層神經網絡來實現一個二進制輸入的邏輯AND運算。邏輯AND運算接受兩個輸入（0或1），當且僅當兩個輸入都為1時，輸出為1，其他情況下輸出為0。

單層神經網絡的結構如下：

1. 輸入層：有兩個節點，分別接收輸入x1和x2，代表二進制輸入。

2. 輸出層：有一個節點，用于輸出結果y，代表二進制輸出。

神經網絡的工作過程：

1. 初始化權重和偏置：權重w1、w2和偏置b是神經網絡的參數。我們可以隨機初始化這些參數，然后通過訓練來優化它們。例如，我們可以初始化w1=1，w2=1，b=-1.5。

2. 計算加權和：神經網絡接收輸入x1和x2后，計算加權和，即z = w1 * x1 + w2 * x2 + b。加權和表示輸入的線性組合。

3. 激活函數：我們使用階躍函數（Step function）作為激活函數。階躍函數的定義是：當z大于等于0時，輸出1，否則輸出0。用數學表示就是：y = 1 (z >= 0)，y = 0 (z < 0)。

現在我們來看看神經網絡如何處理邏輯AND運算：

1. 輸入x1=0, x2=0：加權和z = 1 * 0 + 1 * 0 - 1.5 = -1.5，階躍函數輸出y = 0 (因為z < 0)。

2. 輸入x1=0, x2=1：加權和z = 1 * 0 + 1 * 1 - 1.5 = -0.5，階躍函數輸出y = 0 (因為z < 0)。

3. 輸入x1=1, x2=0：加權和z = 1 * 1 + 1 * 0 - 1.5 = -0.5，階躍函數輸出y = 0 (因為z < 0)。

4. 輸入x1=1, x2=1：加權和z = 1 * 1 + 1 * 1 - 1.5 = 0.5，階躍函數輸出y = 1 (因為z >= 0)。

從上面的例子可以看出，單層神經網絡成功實現了邏輯AND運算。這個簡單的網絡模型可以應用于線性可分問題，但對于更復雜的非線性問題，我們需要使用多層神經網絡。

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